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On considère une suite de lancers de pièces bien
équilibrées.
| Intro |
Le joueur J gagne si la séquence (Pile, Pile,
Face) apparaît en premier.
Le joueur J' gagne si la séquence (Face, Pile, Pile) apparaît
en premier.
La varaiable aléatoire Y désigne le rang du
lancer où pour la première fois apparaît
la séquence (Pile, Pile, Face).
La varaiable aléatoire Y' désigne le rang du lancer
où pour la première fois apparaît la séquence
(Face, Pile, Pile).
Le paradoxe tient à ce que le joueur J' a davantage
de chance de gagner que le joueur J (en dessous) alors
que les temps d'attente des configurations (Pile, Pile, Face)
et (Face, Pile, Pile) suivent la même loi (étude
des variables aléatoires Y
et Y')
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Si aucun des joueurs ne gagne en n lancers, c'est soit qu'il
n'y a pas eu de face de tiré, soit qu'il n'y a pas eu
de successions de deux piles.
On considère Dn l'évènement au cours de
n lancers, aucune suite de deux Pile consécutifs n'apparaît.
Pour de petites valeurs
de n, on a
que J' gagne plus souvent que J et évidemment, la probabilité
de Dn diminue quand n grandit.
| premier lancer |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
| deuxième lancer |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
| troisième lancer |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
| quatrième lancer |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
| évènement réalisé |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2 |
D2 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3 |
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| Joueur gagnant en 3 lancers |
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J' |
J' |
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J |
J |
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| Joueur gagnant en 4 lancers |
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J' |
|
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J' |
J' |
|
|
|
J' |
J |
J |
J |
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Pour que J se mette à gagner au lancer n+1, il faut que
Dn ne soit pas réalisé et que le lancer n soit
pile et le lancer n+1 soit face.
Si Dn n'est pas réalisé, c'est qu'il est est apparu
deux piles au cours des n premiers lancers, si J' n'a pas encore
gagné, c'est qu'il n'est apparu que des piles.
Une succession de piles en n lancers (aucune face ne tombe) a
une probabilité de (1/2)exp n.
La probabilité de gagner pour le
joueur J est donc (puisqu'il faut au moins 3 piles) de
1/8+1/16+1/32+...1/(2 exp n) =
1/4.
Pour que J' se mette à gagner au lancer n+1, il faut
que Dn soit réalisé et que les lancers n et n+1
soient des piles.
Du moment qu'un face est tombé et que J n'a pas gagné,
J' garde une chance de gagner tandis que J n'en a plus aucune.
Pour de grandes valeurs de n,
lorsque n tend vers l'infini.
On voit que Dn diminue, cependant cela ne veut pas dire que la
probabilité de Dn tende vers 0 lorsque n tend vers plus
l'infini.
Sachant que l'évènement D(n+1)
a eu lieu, l'évenement D(n+2) a
lieu
- si le lancer (n+1) était pile
et le lancer (n+2) est aussi pile ou bien
- si le lancer (n+1) était face
Ces deux évéments (le lancer n est face et le
lancer pile est face) étant incompatibles, on a :
P (D(n+2) / D(n+1)
) = (1/2) x P (le lancer n+1 est pile / D(n+1))
+ P (le lancer n+1 est face / D(n+1)) (E)
le (1/2) correspond au (n+2) lancer,
indépendant des (n+1) premiers lancers.
En utilisant la formule (ou la définition...) des probabilités
conditionnelles P(A/B)=(P(A et B) / P (B),
P (D(n+2) / D(n+1)
) = P (Dn+2 et Dn+1) / P (Dn+1)
Si D(n+2) est réalisé, alors
D(n+1) était aussi réalisé donc P (Dn+2
et Dn+1) = P (Dn+2) et
P (D(n+2) / D(n+1)
) = P (Dn+2 ) / P (Dn+1)
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles
dans l'autre membre de (E), on a :
P (Dn+2 ) / P (Dn+1)
= (1/2) x P (le lancer n+1 est pile et D(n+1)) / P(Dn+1) + P
(le lancer n+1 est face et D(n+1))
/ P(Dn+1), en simplifiant :
P (Dn+2 ) = (1/2) x P (le lancer n+1 est
pile et D(n+1)) + P (le lancer n+1 est face et D(n+1))
(E)
Si le lancer n+1 est face et D(n+1),
c'est que le lancer n+1 est face et que Dn est réalisé
(le lancer n peut-être pile ou face), autrement dit :
P (le lancer n+1 est face et D(n+1)) =
P (le lancer n+1 est face et Dn ) = (1/2)
x P(Dn)
Pile et face étant toujours incompatibles, on a D(n+v)=
(le lancer n+1 est pile et D(n+1)) ou (le lancer n+1 est face
et D(n+1)) avec ce qui précède :
P (D(n+1))= P (le lancer n+1 est pile
et D(n+1)) + (1/2) x P(Dn), c'est à
dire P (le lancer n+1 est pile et P (D(n+1)) = P (D(n+1)) - (1/2)
x P(Dn)
(E) se résume donc
à P (Dn+2
) = (1/2) x (P (D(n+1)) - (1/2) x P(Dn))
+ (1/2) x P(Dn), on a donc :
P (Dn+2 ) = (1/2) x (P (D(n+1))
+ (1/4) x P(Dn)
Par récurrence, on peut montrer que P(Dn) est inférieur
à 2 x (6/7) exp n, ce qui montre que la
probabilité de Dn tend vers 0.
On effectuant n lancers, on aboutit
à l'une des situations suivantes :
(1) Il n'y a que des piles
(2) J gagne
(3) Il y a des piles et des faces sans deux Pile consécutifs
(4) J' gagne
Si un joueur a gagné au bout
de (n+1) lancers, c'est soit qu'il a gagné au lancer (n+1)
soit qu'il a gagné au cours des n premiers lancers,
autrement dit pour un joueur, Pn+1 = Pn + probabilité
de gagner au lancer n+1
La probabilité qu'un joueur ait gagné au bout de
n lancers est égale à la somme pour k allant de
3 à n des probabilités d'avoir gagné exactement
au lancer k.
| premier lancer |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
| deuxième lancer |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Pile |
Pile |
| troisième lancer |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
Face |
Face |
Pile |
Pile |
| quatrième lancer |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
Face |
Pile |
| évènement réalisé |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3 |
D2
D3
D4 |
D2
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D4 |
D2 |
D2 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3
D4 |
D2
D3 |
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| Joueur gagnant en 3 lancers |
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J' |
J' |
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J |
J |
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| Joueur gagnant en 4 lancers |
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J' |
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J' |
J' |
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J' |
J |
J |
J |
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En fait, lorsque les lancers commencent
par deux piles (ce qui arrive avec la probabilité 1/4),
on ne peut avoir que la situation (1) ou (2)
Quand n tend vers l'infini, la probabilité de de (2) tend
vers 1/4 et la probabilité de (1) tend vers 0.
Lorsque les lancers ne commencent pas par deux piles (ce qui
arrive avec la probabilité 3/4), on ne peut avoir que
les situations (3) ou (4).
Au bout de n lancers, on a soit Dn soit J a gagné au bout
de k lancer avec k entre 3 et n.
En notant Pk (J') la probabilité que le joueur J' ne gagne
qu'au lancer n, on a :
P3(J') + P4(J') + ... Pn(J') + P(Dn)=3/4, De même P3(J')
+ P4(J') + ... Pn+1(J') + P(Dn+1)=3/4, d'où
Pn+1(J') = P(Dn) - P(Dn+1)
La probabilité que le joueur
gagne avant le lancer n+1 est donc la somme des Pk(J') pour k
allant de 3 à n, P(D2) - P(Dn+1),
Comme P(D2)=3/4 et que P(Dn) tend vers 0, on a la
probabilité que le joueur J' gagne tend vers 3/4.
Le jeu est clairement inéquitable
La suite
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